クイズ - すごく高速な蜂 - 解答編

考え方その１

まず、車が壁に激突するまでの時間を求めます。100km の距離を時速 50km で走ると、所要時間は 2 時間です。車は 2 時間後に壁に激突します。
次に、蜂の飛行距離を考えます。蜂は 2 時間のあいだ時速 100km で飛び続けたわけですから、飛行距離は 200 km です。

答え： 200km.

考え方その２

蜂の速度を Vb, 車の速度を Vc とする. さらに, 蜂が車の先端を飛び立った瞬間の, 壁と車の距離を S₀ とする. S₀ = 100.
蜂が車を出発して, 壁と車の間を 1 回往復した時の壁と車の距離を S₁ とする. さらに, 蜂が車と壁の間を n 往復した時の距離を S_n とする.
壁と車の距離が、S_n から S_n+1 に縮むのにかかる時間は,
$\Large\frac{S_n}{Vb}+\frac{S_{n+1}}{Vb}$ .
この時間をかけて, 車は速度 Vc で走り続けるので,
$\Large S_{n+1} = S_n - Vc(\frac{S_n+S_{n+1}}{Vb})$ .
これを S_n+1 について解くと,
$\Large S_{n+1} = S_n\cdot\frac{Vb-Vc}{Vb+Vc}$ .
ということは,
$\Large S_n = S_0\cdot(\frac{Vb-Vc}{Vb+Vc})^n$ .
ここで, 蜂の往路の総距離は,
$\Large S_0+S_1+S_2+...=\sum_{n=0}^\infty S_0\cdot(\frac{Vb-Vc}{Vb+Vc})^n$ .
S₀ を外に出して,
$\Large = S_0\cdot\sum_{n=0}^\infty (\frac{Vb-Vc}{Vb+Vc})^n$ .
無限等比級数の和が,
$\Large \sum_{n=0}^\infty p^n = \frac{1}{1-p}$ , （ただし, |p| < 1）
である事を利用すると,
$\Large S_0\cdot\sum_{n=0}^\infty (\frac{Vb-Vc}{Vb+Vc})^n$
$\Large = S_0\cdot\frac{1}{1-\frac{Vb-Vc}{Vb+Vc}}$
$\Large = S_0\cdot\frac{Vb+Vc}{2Vc}$ .
これが、蜂の往路の総距離である.
求めたい値は, 復路も合わせた
$\Large S_0+S_1+S_1+S_2+S_2+...$
なので, 往路を 2 回カウントして, 二重にカウントした S₀ を引いてやれば,
$\Large S_0+S_1+S_1+S_2+S_2+...$
$\Large =S_0\cdot\frac{Vb+Vc}{2Vc}+S_0\cdot\frac{Vb+Vc}{2Vc}-S_0$
$\Large =S_0\cdot(2\cdot\frac{Vb+Vc}{2Vc})-S_0$
$\Large =S_0\cdot(\frac{Vb+Vc}{Vc})-S_0$
$\Large =S_0\cdot(\frac{Vb}{Vc}+\frac{Vc}{Vc})-S_0$
$\Large =S_0\cdot(\frac{Vb}{Vc}+1)-S_0$
$\Large =\frac{S_0\cdot Vb}{Vc}+S_0-S_0$
$\Large =\frac{S_0\cdot Vb}{Vc}$ .
ここに, S₀=100, Vb=100, Vc=50 を代入すると,
$\Large =\frac{100\cdot100}{50}=200$ .

答え： 200km.

はぁ･･････。

テレビで見たこと。

テレビで見たんだけど、原子爆弾の開発に携わったフォン・ノイマンは、このクイズを出された時に、「考え方２」の方法ですらすら解いて、「解けましたが何か？」と言ったとか言わなかったとか。（笑）フォン・ノイマンって馬鹿じゃねぇ？
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